前置知识介绍

概念一：干预效果 Treatment Effect

干预效果（Treatment Effect）：干预下的潜在结果减去未干预时的潜在结果（Rubin框架），即：

其中 表示潜在结果，1和0代表是否受到干预。

• 举个例子：我们想知道我养狗给我提升了多少幸福度，理想情况下就是用我养狗时的幸福度减去我不养狗时的幸福度。

概念二：ATT Average Treatment Effect on the Treated

相较于个人的干预效果，我们更希望了解人群整体的干预效果，毕竟我们通常用策略干预的是一个人群。

应用PSM，我们通常希望计算得到被干预的用户的平均干预效果，即ATT（average treatment effect on the treated），即

其中变量代表是否收到干预。

可以看到代表被干预的用户假如不被干预的情况下的潜在结果，是一个无法观测的数值。倘若可以建立AB测试，我们可以利用对照组得到该结果，在无法进行AB测试的情况（例如是一个主动的行为）我们可以通过PSM拟合一个虚拟的对照组进行计算。

计算ATT所需满足的假设

这里引入一个新的概念，倾向性得分（Propensity Score），即用户受到（参与）干预的概率

1. 条件独立假设 CIA (Conditonal Independence Assumption)

给定一系列可观测的协变量，潜在结果和干预分配相互独立。

可认为所有影响到干预分配与潜在结果的变量都同时被观测到。此时可能是高维度的。

若上式成立，则干预分配与潜在结果基于同样条件独立[可证明]，即：

2. 共支撑 Common Support

除了独立外的另一个条件是存在重叠的部分，即：

这个条件能够排除掉——给定时能准确确定的情况（也因为如此才有匹配的空间）。

估算ATT

在满足CIA和common support的情况下，我们能够对ATT进行估算：

即：在common support 上，以倾向分为权重、对实验组与对照组平均值的差值进行求和。

PSM实现

倾向得分匹配的实现步骤其实就如其名称中提到的，主要有两步：倾向得分的计算，以及基于倾向得分的匹配。

倾向得分预测

预测用户被干预的概率，其实就是一个常见的二分类问题，常见的机器学习模型都可以在这里使用。

特征选择

需要注意的是在特征选择上，具体需要哪些特征呢？有两个基本的原则是需要遵守的：

1. 同时影响干预分配和结果的变量应该被包括（使CIA成立）；
2. 被干预项影响的变量应该排除（变量需要在干预项前计算）。

而至于特征的量级，不同的文献中有不同的说法：

1. 不应使用过多的参数，因为会导致如下两个问题：

• 恶化support问题，导致存在某些使得
• 不会增加bias但会增加variance，因为匹配困难一些treatment样本会被丢弃、或control样本被重复使用

2. 尽可能使用更多的参数以满足CIA假设，除非有明确的共识特征与干预无关。

为方便起见，通常在实际应用中我们会选取尽量多的特征，同时也会用到一些机器学习中常规的特征筛选方法。

重要特征

当我们已知一些特征十分重要（对干预、结果）时，我们可能通过一些方式加强这些特征对匹配的影响：

1. 在匹配时在该特征上两组一致，如男性只跟男性匹配
2. 在子人群中做匹配（男性、女性分别做匹配）

换句话说：就是在重要特征上做完全匹配，再辅助倾向分匹配（当预期在不同分组上会有不同的ATT时尤其推荐这么做）。

匹配算法

完成倾向分模型及预测后，每个样本会得到一个propensity score，此时便可以进行匹配步骤了：为每个被干预的样本匹配一个（或多个）虚拟的对照样本。

匹配的基础思路很简单，即找到一个距离最近的样本，实现的具体方法按照渐进的顺序阐述如下：

Nearest Neighbour Matching 最近邻匹配

这是最直接的一种方法，即：对干预组中的用户，选取对照组中在倾向分上相差最小的用户做匹配。

实现上，会有有放回和无放回两种实现方式：

• 有放回（对照组样本可重复使用）：此时整体匹配质量上升，bias下降，当干预组与对照组倾向分分布差异较大时推荐应用。此时使用的对照组样本数会减少，导致variance上升；
• 无放回：此时匹配结果与匹配顺序有关，顺序需要保证随机。

除了是否放回之外，还有一个可调整的地方在于对单个用户是否可匹配多个样本（over-sampling）：通过匹配最近的多个邻居降低了variance，提升了匹配的稳定性。但此时需要给每个邻居赋予权重（eg. 按距离衰减）。

Caliper and Radius Matching 有边界限制的半径匹配

当最近的邻居也相距很远的时候，NN匹配会存在低质匹配的风险。很自然的，我们想到可以限定样本间分数差值的上限，即Caliper。

• Caliper Matching：匹配时引入倾向分差值的忍受度，高于忍受度的样本丢弃。理论上通过避免低质量匹配降低了bias，但在样本数量较少时也可能因为匹配过少而升高了variance；
• Radius Matching：不止匹配caliper中的最近样本，使用caliper中的所有样本进行匹配。这种方法的优势在于，当有高质量匹配时使用了更多的样本、而当缺乏高质量匹配时则使用较少的样本。

Stratification and Interval Matching 分层区间匹配

分层匹配可以看作radius matching的一种相似版本，即将倾向得分分成多个区间，在每个区间内进行匹配。需要注意的是，分层的依据除了propensity score，也可以用一些我们认为重要的特征（如性别、地区），在相同特征的用户间进行匹配。

匹配示例SQL

在计算复杂度不太高的情况下，我们通常能够使用sql进行匹配算法的实现，示例如下：

with matching_detail as (
    select t1.user_id as treatment_userid,
    	t1.score as treatment_pscore,
    	t2.user_id as control_userid,
    	t2.score as control_pscore,
    	row_number() over (partition by t1.user_id order by abs(t1.score-t2.score) asc) as rn
    from propensity_score_treatment t1
    left join propensity_score_control t2
    	-- 分层匹配
        on t1.gender = t2.gender and round(t1.score, 1)*10 =  round(t2.score, 1)*10
    where abs(t1.score-t2.score) <= 0.05 -- caliper matching
)
select * from matching_detail where rn = 1  # rn大于1时为多邻居/radius匹配

上述的三种方法实际上都只使用了对照组中的部分样本，若希望使用对照组中的所有样本可对对照组中的样本整体赋权，计算整体的差值。

匹配质量检验

鉴于我们基于倾向分做匹配，需要检测其他特征在实验组与对照组之间的分布是否相近。

理论依据：因为 ，在给定的情况下，与应该相互独立。也就是说倾向得分相同时，的分布应该趋近一致。

1. 可量化的指标——标准化偏差 Standardised Bias

通过标准化偏差我们可以衡量在实验组与对照组分布的差异大小，通常我们认为低于5%的偏差是可以接受的（当然越小越好）。

我们也可以在匹配前后分别计算该值，去看看通过匹配让Standardised Bias减少了多少。

2. 对样本均值的假设检验——T检验

我们也可以通过双侧T检验去判断两组的变量均值是否有显著差异。缺点是匹配前后偏差的减少量无法很直观的感受到。进一步的，我们也可以基于倾向分先做一个分层，再进行T-Test。这样可以看到不同分值下匹配的质量。

3. 联合显著性/伪

另一种思路是我们把特征当作自变量，是否干预当作因变量，计算判定系数。在完成匹配后，两组间的协变量应该不存在系统性差异（即无法通过预测是否干预），从而应该很低。类似的，可以对所有变量做一个联合F-Test，匹配有效的话，匹配后会拒绝假设（即解释变量对被解释变量的共同影响不显著）。

除此之外，我们可以通过QQplot的可视化、计算匹配后两组方差的比值、计算匹配前后倾向分偏差减小量等方式衡量匹配质量。但总体来说还是推荐前两种方式——计算SB和T检验，兼具了可解释性和可量化性。假如匹配的质量达不到要求，那么我们就要回到上一步对匹配算法进行调整。

匹配结果+增量计算

匹配结果示例

匹配之后，常见的趋势会如下图一所示：

1. 在干预之前，匹配后的实验组和对照组呈现几乎相同或平行的趋势（匹配质量较好的情况下）
2. 在干预后，两组用户在目标指标上会开始出现差异，可以认为是干预带来的影响

增量计算

因为满足平行趋势假设，我们可以用双重差分法（DID）去计算干预带来的增量；需注意的是，计算实验组与对照组的差异时，我们通常需要取一段时间的均值，避免波动带来的影响。

最终得到的结论类似于：用户在购买商品后，能够给来访率带来1.5%（30天日均）的提升。

其他情况

在一些情况下，也会有其他结果的出现。

1. 无显著增量

用户在干预之后来访率有一个短暂的提升，但随着时间的推移两组用户趋于一致。这种情况下我们通常认为干预并没有给用户来访带来显著的提升。为了识别出这种情况，我们也可以通过假设检验或计算差值中位数的方式进行验证。

2. 不满足平行趋势假设

从下图可以看到，左侧区域实验组与对照组的趋势不一致（不平行），这代表我们前面完成的匹配质量较差，需要优化匹配模型。对于平行趋势的检验，除了图示法（肉眼看是否平行）我们也可以通过T检验的方式来验证。

其他值得一提的点

ATT与ATE的区别

• ATE：average treatment effect
• ATT：average treatment effect on the treated

可以认为ATE是人群整体的干预增量效果，而ATT是实际被干预人群的干预增量效果。通常我们通过PSM+DID计算的是ATT，因为ATE还会涉及人群的干预率。更详细的解释可以参考stackexchange上的这个回答：https://stats.stackexchange.com/questions/308397/why-is-average-treatment-effect-different-from-average-treatment-effect-on-the-t

Bias与Variance

在匹配算法的步骤，我们有提到bias与varianc：

• Bias 偏差：期望预测与真实结果之间的偏离程度，刻画算法本身的拟合能力
• Variance 方差：同样大小训练集的变动所导致的学习性能变化，刻画数据扰动所造成的影响

可以认为bias代表算法本身的拟合能力而variance代表算法的稳定性，在匹配的不同方法中它们也存在trade-offs：

敏感性测试 Sensitivity Analysis

在前置知识介绍的部分有提到，做PSM需要满足两个假设——条件独立和共支撑。

对于第一个条件，其含义便是我们需要观测到所有同时影响到treatment和outcome的特征，否则估算的ATT会存在偏差。对于common support，我们实际上计算的是倾向得分重叠区域的ATT，其实际上也可能是有偏的。在这种情况下，我们需要去进行sensitivity analysis。换句话说，我们计算得到的增量结果其实是不稳健的，我们可以通过纳入不确定性的来估算一个ATT的区间，使之稳定性得到提升。

总结

在文章的最后，我们对PSM的整体流程进行一个梳理（可以看到真的不复杂），同时对PSM的优点与缺点进行简单的介绍。

完整流程

1. 选择同时影响treatment与outcome的特征，基于特征对treatment进行二分类建模，得到倾向分；
2. 在支撑集上，基于重要特征与倾向分进行匹配，为被干预用户找到匹配的样本；
3. 对匹配结果的质量进行检验，检验通过的话进入下一步，否则返回第二步进行匹配的优化；
4. 基于匹配的结果进行平行趋势验证，验证通过后通过双重差分法进行增量计算。

PSM的优缺点

• 优点

1. 在无法进行随机试验的情况下，可构建虚拟的对照组并对增量进行可信的估算；
2. 实现较为容易，实验组的样本能够充分的利用。

• 缺点

1. PSM最主要的一个缺点是——使用者永远无法保证所有的混淆变量都被包含在建模用的特征当中；

• 但可通过敏感性分析校验：如增减混淆变量后重复完成计算步骤观测结果是否一致，或通过纳入不确定性对估算增量的区间值

2. 当支撑集（实验、对照组的倾向分交集）较小时，PSM+DID估计的局部样本的增量，可能无法代表整体。

整体来说，若不过分追求准确性，PSM+DID是一个对因果增量预估的较为靠谱的方式。当实现过程中存在卡点或假设无法满足时，除了优化模型还可以尝试看看逆概率加权和合成控制法等其他方法。

参考文章

1. Evaluating the performance of propensity score matching methods
2. Some Practical Guidance for the Implementation of Propensity Score Matching